Birthday paradox
Program
- Number of days with at least two birthdays
- Shared birthdays
- Birthdays
Description
\(n\)人からなる集団に、誕生日が同一であるような人が少なくとも2人いる確率\(P(n)\)を考える。このとき、たった23人で確率が50％を超えてしまう(\( \Leftrightarrow P(23) \gt 0.5 \))。この事実が直感に反することから「誕生日のパラドックス(Birthday paradox)」という。
\(P(n)\)は余事象から簡単に求めることができる。\(n\)人の集団に誕生日が同一であるような人がまったくいない確率\(\overline{P}(n)\)は\(P(n)\)の余事象であるから、
\[ P(n) = 1 - \overline{P}(n) \]\(\overline{P}(n)\)は、以下のように考えられるから、数式にすると次のようになる。
- 1人目は任意の誕生日(365通り)
- 2人目は1人目とは異なる誕生日(364通り)
- …
- n人目は、直前のn - 1人と異なる誕生日(365 - (n - 1)通り)
Wikipediaによると、\(n\)と\(P(n)\)との関係は次のようである。例えば、1クラスあたり30人の学級では70%以上の確率で同一の誕生日の人がいることになる。
| n | P(n) |
|---|---|
| 5 | 2.7% |
| 10 | 11.7% |
| 20 | 41.1% |
| 23 | 50.7% |
| 30 | 70.6% |
| 40 | 89.1% |
| 50 | 97.0% |
| 60 | 99.4% |
| 70 | 99.9% |
| 75 | 99.97% |
| 100 | 99.99997% |